ФИЗИКА. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ

Проводником называют тело, в котором электрические заряды могут свободно перемещаться. Хорошими проводниками являются металлы. Любое, даже малое внешнее электрическое поле вызывает в них движение электронов против поля. Если, однако, тело изолировано, такое движение не может продолжаться долго, так как приводит к накоплению избыточного количества электронов с одной стороны проводника, куда входят линии поля.

В этом месте образуется отрицательный заряд. С противоположной стороны проводника, где образуется недостаток электронов, возникает положительный заряд. Эти две разноименно заряженные области проводника создают собственное внутреннее электрическое поле, которое суммируется с внешним электрическим полем. Как видно из рис.4.1 внутри тела напряженности внешнего и внутреннего полей противоположны друг другу, то есть внутри проводника они вычитаются.

Рис. 4.1

Перемещение электронов происходит до тех пор, пока напряженности этих двух полей не уравняются. В состоянии равновесия суммарная напряженность внутри проводника равна нулю и разделенные заряды остаются неподвижными. Такое равновесие полей (и зарядов) устанавливается автоматически и является устойчивым. В состоянии равновесия напряженность поля всюду внутри проводника равна нулю.

Евнутр = 0 (4.1)

Если учесть установленную ранее связь напряженности поля и его потенциала

то из условия (4.1) можно заключить, что потенциал внутри проводника постоянен (φ = const).

Однако одного условия (4.1) недостаточно, чтобы обеспечить неподвижность зарядов внутри проводника. Линии электрического поля должны подходить к поверхности проводника по нормали к ней. В противном случае была бы отлична от нуля тангенциальная составляющая поля Еt, которая вызывала бы движение электронов вдоль поверхности. Таким образом, вторым необходимым условием равновесия зарядов в проводнике является Еt = 0, то есть Е = Еn (4.2)

Из условия (4.2) вытекает, что работа по перемещению любого заряда по поверхности проводника равна нулю, так как это перемещение будет происходить перпендикулярно линиям электрического поля (cosα = 0). Отсюда следует, что поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью.

Рассмотрим теперь проводник, которому сообщили некоторый внешний заряд q. Он быстро перераспределится внутри проводника так, чтобы соблюдались условия равновесия (4.1), (4.2). При этом избыточные заряды окажутся распределенными по поверхности проводника. Чтобы показать это, мысленно выделим внутри проводника произвольную замкнутую поверхность. Поскольку Евнутр = 0, поток вектора напряженности электрического поля через нашу поверхность также будет равен нулю.

На основании теоремы Гаусса можно утверждать, что избыточные заряды внутри поверхности отсутствуют. Это утверждение сохраняет силу для любой замкнутой поверхности внутри проводника, следовательно, избыточный заряд q, сообщенный проводнику, может распределиться только по его наружной поверхности. К такому же выводу можно прийти, если учитывать, что одноименные заряды отталкиваются и стремятся расположиться на максимальном расстоянии друг от друга.

Заряженная поверхность проводника создает вне его электрическое поле. В непосредственной близости от поверхности можно пренебречь ее кривизной и считать, что поле в прилегающих точках создается участком заряженной плоской поверхности. Исходя из этого, напряженность поля вблизи поверхности заряженного проводника можно приближенно вычислять по аналогии с полем заряженной плоскости по формуле

где s — поверхностная плотность избыточных зарядов в проводнике. Напряженность этого поля вдвое больше, чем у поля равномерно заряженной плоскости (формула (2.6)). Это различие обусловлено тем, что бесконечная заряженная плоскость создает поток вектора напряженности по обе стороны от плоскости, а в случае конечного проводника этот поток концентрируется только в одну наружную сторону от его поверхности (внутри проводника поле равно нулю).

Возьмем заряженный проводник, поверхность которого имеет острые концы (рис.4.2). На большом расстоянии от него, намного превышающем его размеры, поле проводника практически будет совпадать с полем точечного заряда, поэтому эквипотенцтальные поверхности будут иметь форму сферы (см. рис.4.2). Но по мере приближения к проводнику, эквипотенциальные поверхности по своей форме будут все более подобны форме самого проводника, и это вполне понятно, ведь поверхность проводника, как мы обсудили выше, сама является эквипотенциальной поверхностью.

Рис.4.2

Из рисунка видно, что эквипотенциальные поверхности вблизи выступов располагаются гуще, следовательно напряженность электрического поля там выше, а это согласно (4.3) означает, что и поверхностная плотность зарядов на острых концах также выше, чем на ровной поверхности. Ниже будет показано, что поверхностная плотность зарядов на поверхности проводника обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности.

На остриях, где радиус кривизны очень мал, плотность зарядов и напряженность поля может достигать таких величин, что начнут ионизироваться молекулы воздуха, и ионы иного знака будут притягиваться к острию, уменьшая заряд проводника. Заряд будет как бы стекать с острия. Такое явление ограничивает возможности накопления слишком больших зарядов в одиночных проводниках.

Введем важную характеристику, отображающую способность различных проводников накапливать заряды. Рассмотрим для примера проводящую сферу радиуса R, удаленную от других тел. Ее поле имеет такой же вид, как поле точечного заряда. Если сообщить сфере заряд q, то согласно формуле (2.18) потенциал на ее поверхности будет равен (4.4)

Мы видим, что потенциал φ заряженной сферы прямо пропорционален величине ее заряда q. Опыт показывает, что пропорциональность заряда и потенциала соблюдается и для проводников любой формы. Исходя из этого, можно написать

(4.5)

где С — коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью или просто емкостью уединенного проводника.

(4.6)

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от свойств материала проводника. Емкость шара радиуса R можно найти, подставив (4.4.) в (4.6). В результате получим C = 4pe0R. (4.7)

Единица электроемкости — фарад (Ф). Фарад — это емкость проводника, потенциал которого повышается на 1В при сообщении ему заряда в 1Кл. Пользуясь формулой (4.7), можно подсчитать, что емкостью в 1Ф обладает шар, радиусом в 9 млн. км, то есть фарад – это очень крупная единица емкости. На практике используют дольные единицы емкости — микрофарад (10-6Ф) и пикофарад (10-12Ф). Из формулы (4.7) непосредственно следует, что ε0= С/4πR, то естьэлектрическая постоянная должна измеряться в фарадах на метр.

Что происходит с емкостью проводников при их соединении? Рассмотрим две проводящие сферы с радиусами R1иR2, содержащие заряды,и соединим их между собой тонким проводником (рис.4.3). По этому проводнику заряды начнут перетекать до тех пор, пока потенциалы φ1 и φ2обеих сфер не сравняются, ведь поверхность любого проводника, как мы установили выше, является эквипотенциальной поверхностью (здесь можно провести аналогию с сообщающимися сосудами). Общий потенциал φ соединенных сфер будет равен (4.8) где Q1 , Q2 – заряды сфер, а С12 их емкости.

Рис.4.3

По определению емкости,у такого составного проводника емкость будет равна отношению суммарного заряда сферQсум к их общему потенциалу φ

(4.10)

Итак, из формулы (4.10) следует, что при соединении одиночных проводников их емкости складываются.

Выразим заряды Q­1 и Q2через поверхностные плотности зарядов σ1 и σ2 (4.11)

а емкости С1и С2– через радиусы сфер (формула (4.7)). Подставив эти выражения в (4.8) получим

Мы получили, что при соединении заряженных тел поверхностная плотность заряда будет обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности. Эта зависимость справедлива и для любого тела с переменной кривизной поверхности: там, где радиус кривизны меньше, плотность заряда оказывается выше. Этим объясняется упомянутая выше концентрация зарядов вблизи острия.

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *