Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Изложим правило Лопиталя для вычисления предела функции в случае неопределенности вида 0 / 0.

Теорема 1. Пусть функции (x) и g(x), определенные на отрезке [,], таковы , что :

1) (a)=g(a)=0;

2) существуют производные (правосторонние) ′() и g′(a) причём g′(a)≠0 .

Тогда существует предел

Доказательство. Применим метод выделения главной части . В силу условия 2 теоремы запишем соотношения ()=()+′()(−)+0(−),

()=()+ g′(a) (−)+0(−).

Отсюда, согласно условию 1, находим ()=′()(−)+0(−), ()=g′(a) (−)+0(−).

Следовательно, заключаем

Что и требовалось доказать.